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Color Tiles

Analysis and Copyright : 石野恵一郎 (ISHINO Keiichiro) (2005)。 マクマホン (Percy Alexander MacMahon) のカラータイルは、4色に塗り分けられた正三角形24駒や、3色に塗り分けられた正方形24駒を扱うパズルとして有名である。 ここでは、9つの正方形を 3×3 に並べる色合わせの問題を考える。 この問題には、いろいろなバリエーションがある。色を辺で合わせるもの、頂点で合わせるもの、駒の回転を許さないもの、裏返せるもの、ひとつの駒に同じ色が含まれるもの、同じ駒を複数使用するもの、などである。

既存のこの種のパズルの駒の選択は、いずれも試行錯誤による「適当」な選択であると思われる。

Sushi Puzzle
Kamon Puzzle

4色の対を辺で合わせる

ひとつの駒に同じ色が含まれないとき、4色の対を使った駒の種類は次の 96種類ある。 これらから異なる 9駒を選び、隣り合う辺を同色の対にする。周囲の色は問わない。駒を裏返すことはできない。

0 ABCD 1 ABDC 2 ACBD 3 ACDB 4 ADBC 5 ADCB
6 ABCd 7 ABDc 8 ACBd 9 ACDb10 ADBc11 ADCb
12 ABcD13 ABdC14 ACbD15 ACdB16 ADbC17 ADcB
18 ABcd19 ABdc20 ACbd21 ACdb22 ADbc23 ADcb
24 AbCD25 AbDC26 AcBD27 AcDB28 AdBC29 AdCB
30 AbCd31 AbDc32 AcBd33 AcDb34 AdBc35 AdCb
36 AbcD37 AbdC38 AcbD39 AcdB40 AdbC41 AdcB
42 Abcd43 Abdc44 Acbd45 Acdb46 Adbc47 Adcb
48 aBCD49 aBDC50 aCBD51 aCDB52 aDBC53 aDCB
54 aBCd55 aBDc56 aCBd57 aCDb58 aDBc59 aDCb
60 aBcD61 aBdC62 aCbD63 aCdB64 aDbC65 aDcB
66 aBcd67 aBdc68 aCbd69 aCdb70 aDbc71 aDcb
72 abCD73 abDC74 acBD75 acDB76 adBC77 adCB
78 abCd79 abDc80 acBd81 acDb82 adBc83 adCb
84 abcD85 abdC86 acbD87 acdB88 adbC89 adcB
90 abcd91 abdc92 acbd93 acdb94 adbc95 adcb

Color Tiles Piece ここに、A～D、a～d は各色を表わし、 A と a、 B と b、 C と c、 D と d がそれぞれ同じ色の対となる。 0番の ABCD は左図に対応する。

4 Colors Pair Tiles 任意の組み合わせに対して適当な色の置換を行なって、なるべく小さい駒番号の組み合わせに正規化することができる。例えば、20 21 22 37 38 54 58 74 76 は、 AaBbCcDd → CcaADdbB の置換によって 0 1 3 30 35 58 65 90 95 と等価となる。

20 ACbd → 0 ABCD
21 ACdb → 3 ACDB
22 ADbc → 35 AdCb
37 AbdC → 1 ABDC
38 AcbD → 30 AbCd
54 aBCd → 58 aDBc
58 aDBc → 95 adcb
74 acBD → 90 abcd
76 adBC → 65 aDcB

また、解には A と a などの色の対が 12対必要であるから、選んだ 9駒中の対が 12に満たない組み合わせには明らかに解がない。上の組み合わせは 16対持っている。

96種から 12対以上持つ異なる 9駒を選ぶ正規化された組み合わせは次のとおり。

総組み合わせ数 1,296,543,270,88096C9
正規化組み合わせ数 2,911,418,82912対以上
解を持つ組み合わせ数 648,813,123
最大解を持つ組み合わせ数 1655解
唯一解を持つ組み合わせ数280,744,605

唯一解を持つ組み合わせは、それほど珍しくないことがわかる。 最大解を持つ組み合わせは次で、655解を持つ。括弧内は対の数。

  1. 0 6 12 18 24 66 72 84 90 (16)

平野良明氏は、次のような問題を提起した。(2005/04)

こんな都合のよい組み合わせは存在しないのではないかと考えていたが、このような組み合わせは以下の 210通り存在する。 寿司パズルと家紋パズルは、このような組み合わせのひとつ。

  1. 0 1 2 20 23 45 54 93 94 (15)
  2. 0 1 2 20 45 47 54 70 93 (15)
  3. 0 1 2 20 45 47 70 78 87 (15)
  4. 0 1 2 22 56 72 81 93 95 (15)
  5. 0 1 2 37 46 47 70 78 87 (15)
  6. 0 1 2 37 46 47 72 87 94 (15)
  7. 0 1 3 31 64 67 85 87 95 (16)
  8. 0 1 3 32 70 71 78 82 85 (16)
  9. 0 1 3 33 34 69 85 87 95 (16)
  10. 0 1 3 34 44 68 79 83 84 (16)
  11. 0 1 6 11 65 72 80 89 93 (15)
  12. 0 1 6 20 45 70 82 87 95 (15)
  13. 0 1 6 21 47 65 78 79 87 (16)
  14. 0 1 6 23 39 62 70 82 93 (16)
  15. 0 1 6 39 47 58 68 93 94 (15)
  16. 0 1 6 39 47 62 70 82 93 (16)
  17. 0 1 8 11 22 74 85 87 89 (15)
  18. 0 1 8 14 23 45 54 82 93 (15)
  19. 0 1 8 14 23 45 78 82 87 (15)
  20. 0 1 8 14 45 47 54 58 93 (15)
  21. 0 1 8 14 45 47 58 78 87 (15)
  22. 0 1 8 14 71 73 87 94 95 (16)
  23. 0 1 8 16 36 70 87 89 93 (16)
  24. 0 1 8 17 37 46 70 78 93 (15)
  25. 0 1 8 18 21 71 81 82 91 (16)
  26. 0 1 8 19 46 71 77 81 90 (16)
  27. 0 1 8 22 25 80 83 89 93 (16)
  28. 0 1 8 22 33 72 87 89 94 (16)
  29. 0 1 8 22 33 84 87 88 89 (16)
  30. 0 1 8 22 35 61 74 93 95 (16)
  31. 0 1 8 22 35 74 85 87 89 (15)
  32. 0 1 8 22 37 50 87 89 95 (15)
  33. 0 1 8 22 47 50 85 87 89 (15)
  34. 0 1 8 23 30 79 87 89 90 (16)
  35. 0 1 8 23 37 46 70 78 87 (15)
  36. 0 1 8 23 37 46 72 87 94 (15)
  37. 0 1 8 23 38 45 54 69 82 (15)
  38. 0 1 8 23 38 45 63 78 82 (15)
  39. 0 1 8 23 39 62 70 73 95 (15)
  40. 0 1 8 23 44 45 48 69 82 (15)
  41. 0 1 8 23 44 45 63 72 82 (15)
  42. 0 1 8 23 45 49 70 82 95 (16)
  43. 0 1 8 24 46 70 75 89 93 (16)
  44. 0 1 8 25 46 75 80 83 89 (15)
  45. 0 1 8 27 54 70 82 85 95 (15)
  46. 0 1 8 27 54 73 82 94 95 (15)
  47. 0 1 8 30 38 58 63 93 95 (16)
  48. 0 1 8 35 46 73 75 80 89 (15)
  49. 0 1 8 35 46 74 75 85 89 (15)
  50. 0 1 8 37 46 50 75 89 95 (15)
  51. 0 1 8 37 46 74 75 83 89 (15)
  52. 0 1 8 38 45 47 51 58 78 (15)
  53. 0 1 8 38 45 47 58 63 78 (15)
  54. 0 1 8 41 62 70 72 75 93 (15)
  55. 0 1 8 44 45 48 58 69 95 (16)
  56. 0 1 8 45 47 52 55 70 95 (16)
  57. 0 1 8 45 47 58 65 73 94 (16)
  58. 0 1 8 45 47 58 65 79 88 (16)
  59. 0 1 8 45 47 61 75 84 91 (16)
  60. 0 1 8 46 47 50 75 85 89 (15)
  61. 0 1 8 47 49 58 71 93 94 (16)
  62. 0 1 8 47 54 70 75 82 85 (15)
  63. 0 1 8 47 54 73 75 82 94 (15)
  64. 0 1 9 14 46 74 77 89 90 (16)
  65. 0 1 9 28 41 84 87 88 92 (16)
  66. 0 1 9 28 43 54 70 77 86 (15)
  67. 0 1 9 28 43 58 77 78 86 (15)
  68. 0 1 9 31 44 63 75 91 95 (16)
  69. 0 1 9 31 45 76 85 87 89 (16)
  70. 0 1 9 39 75 82 85 93 95 (16)
  1. 0 1 9 41 55 72 80 92 94 (16)
  2. 0 1 9 44 45 54 58 65 83 (16)
  3. 0 1 12 35 45 75 84 85 89 (16)
  4. 0 1 12 35 46 47 50 71 90 (15)
  5. 0 1 12 39 44 64 68 77 93 (16)
  6. 0 1 12 39 44 64 68 89 93 (16)
  7. 0 1 12 44 45 58 68 87 95 (15)
  8. 0 1 14 22 56 72 75 93 95 (15)
  9. 0 1 14 22 68 72 75 87 95 (15)
  10. 0 1 14 23 34 45 56 75 78 (15)
  11. 0 1 14 23 39 63 66 70 91 (16)
  12. 0 1 14 23 54 70 82 85 93 (16)
  13. 0 1 14 27 37 67 73 93 95 (16)
  14. 0 1 14 27 42 73 82 87 95 (16)
  15. 0 1 14 33 54 70 82 85 89 (16)
  16. 0 1 14 34 37 41 72 82 93 (15)
  17. 0 1 14 34 37 72 75 82 95 (16)
  18. 0 1 14 47 68 70 72 75 87 (15)
  19. 0 1 15 18 47 62 70 87 94 (16)
  20. 0 1 15 20 46 66 70 87 95 (15)
  21. 0 1 15 22 32 36 73 80 95 (15)
  22. 0 1 15 22 60 64 68 89 93 (16)
  23. 0 1 15 28 44 65 70 78 92 (16)
  24. 0 1 15 32 36 46 56 71 79 (15)
  25. 0 1 15 32 36 46 71 73 80 (15)
  26. 0 1 15 32 36 70 73 80 95 (16)
  27. 0 1 15 32 36 71 73 80 94 (16)
  28. 0 1 15 32 37 62 70 87 94 (16)
  29. 0 1 15 41 46 48 79 83 93 (16)
  30. 0 1 15 44 45 52 66 73 95 (16)
  31. 0 1 15 46 47 66 68 70 87 (15)
  32. 0 1 18 27 45 64 68 89 92 (16)
  33. 0 1 20 21 23 32 48 82 93 (15)
  34. 0 1 20 21 23 32 72 82 87 (15)
  35. 0 1 20 21 32 48 58 93 95 (16)
  36. 0 1 20 21 32 48 71 82 93 (16)
  37. 0 1 20 21 32 55 64 84 95 (16)
  38. 0 1 20 21 32 58 60 93 95 (16)
  39. 0 1 20 23 26 51 67 84 88 (15)
  40. 0 1 20 23 32 45 63 72 94 (15)
  41. 0 1 20 23 34 50 75 85 89 (15)
  42. 0 1 20 23 50 58 73 93 95 (15)
  43. 0 1 20 24 34 58 75 89 93 (15)
  44. 0 1 20 24 34 58 75 93 95 (16)
  45. 0 1 20 30 34 58 75 93 95 (16)
  46. 0 1 20 32 45 48 69 70 95 (16)
  47. 0 1 20 33 49 67 79 87 95 (16)
  48. 0 1 20 34 37 62 75 89 95 (16)
  49. 0 1 20 35 36 51 71 82 87 (16)
  50. 0 1 20 36 39 58 69 80 95 (16)
  51. 0 1 20 39 46 54 58 81 95 (16)
  52. 0 1 21 26 31 63 81 91 95 (16)
  53. 0 1 21 28 37 53 66 70 86 (15)
  54. 0 1 21 31 47 66 75 83 84 (16)
  55. 0 1 21 32 41 55 64 68 95 (16)
  56. 0 1 21 32 44 52 55 72 95 (16)
  57. 0 1 21 32 44 55 64 72 95 (16)
  58. 0 1 21 34 36 44 65 73 92 (15)
  59. 0 1 21 36 44 65 73 82 92 (16)
  60. 0 1 21 41 45 58 64 68 72 (15)
  61. 0 1 21 42 61 71 75 78 89 (16)
  62. 0 1 21 45 52 56 70 72 95 (15)
  63. 0 1 21 45 52 68 70 72 89 (15)
  64. 0 1 24 27 41 71 80 85 93 (16)
  65. 0 1 24 34 44 58 75 77 93 (15)
  66. 0 1 24 34 44 58 75 83 93 (16)
  67. 0 1 24 34 58 68 81 87 95 (16)
  68. 0 1 24 42 47 56 65 84 93 (16)
  69. 0 1 26 33 69 73 87 89 91 (16)
  70. 0 1 26 34 47 59 69 79 92 (16)
  1. 0 1 26 34 57 83 84 87 92 (16)
  2. 0 1 26 41 45 51 78 86 94 (16)
  3. 0 1 27 30 47 56 62 70 93 (16)
  4. 0 1 27 34 45 55 64 68 92 (16)
  5. 0 1 27 34 46 54 68 73 95 (16)
  6. 0 1 27 34 46 54 73 80 83 (15)
  7. 0 1 27 34 46 54 73 83 92 (16)
  8. 0 1 27 34 54 68 70 81 95 (16)
  9. 0 1 30 41 46 64 68 81 87 (16)
  10. 0 1 32 35 44 55 69 70 72 (16)
  11. 0 1 32 35 54 73 75 82 94 (15)
  12. 0 1 32 35 56 73 75 89 94 (15)
  13. 0 1 32 36 63 70 73 80 83 (16)
  14. 0 1 33 39 42 52 68 77 91 (16)
  15. 0 1 33 46 55 72 77 80 92 (16)
  16. 0 1 36 39 44 53 73 92 94 (16)
  17. 0 1 36 44 52 68 77 79 93 (16)
  18. 0 1 39 47 61 64 68 71 82 (16)
  19. 0 5 7 22 30 67 68 87 88 (16)
  20. 0 5 8 19 65 68 79 81 88 (16)
  21. 0 5 18 21 43 64 74 79 82 (16)
  22. 0 5 18 21 44 65 72 82 88 (16)
  23. 0 5 18 21 56 65 70 83 91 (16)
  24. 0 5 18 22 35 68 71 75 91 (16)
  25. 0 5 18 35 44 72 75 82 86 (16)
  26. 0 5 18 40 44 62 67 75 85 (16)
  27. 0 5 18 40 62 69 84 89 92 (16)
  28. 0 5 18 47 64 74 78 81 94 (16)
  29. 0 5 20 43 74 81 85 87 94 (16)
  30. 0 6 7 24 32 44 51 64 88 (14)
  31. 0 6 9 17 43 61 74 83 84 (16)
  32. 0 6 10 20 23 64 77 87 90 (16)
  33. 0 6 10 38 41 56 64 71 78 (16)
  34. 0 6 11 27 43 50 70 82 93 (16)
  35. 0 6 11 27 50 67 79 88 92 (16)
  36. 0 6 11 31 39 70 85 89 93 (16)
  37. 0 6 11 39 55 68 70 80 91 (16)
  38. 0 6 11 45 56 58 79 87 94 (16)
  39. 0 6 11 46 56 64 79 89 92 (16)
  40. 0 6 16 27 55 59 68 80 91 (16)
  41. 0 6 16 27 56 67 79 83 92 (16)
  42. 0 6 17 33 42 53 67 88 95 (16)
  43. 0 6 17 43 53 62 78 82 95 (16)
  44. 0 6 17 46 56 64 74 83 92 (16)
  45. 0 6 22 39 55 59 68 80 91 (16)
  46. 0 6 23 25 45 50 58 87 94 (16)
  47. 0 6 23 27 37 56 58 81 94 (16)
  48. 0 6 23 27 43 73 77 81 87 (16)
  49. 0 6 23 45 56 58 73 87 94 (16)
  50. 0 6 24 26 31 43 52 63 69 (14)
  51. 0 6 27 36 43 53 61 69 95 (16)
  52. 0 7 8 23 37 46 72 87 88 (15)
  53. 0 7 8 35 43 54 64 87 92 (15)
  54. 0 7 8 36 45 52 68 79 89 (16)
  55. 0 7 8 36 47 59 69 74 76 (16)
  56. 0 7 9 13 18 44 51 79 82 (14)
  57. 0 7 9 13 18 44 51 82 85 (14)
  58. 0 7 9 13 23 45 51 88 91 (15)
  59. 0 7 9 13 23 45 63 79 80 (15)
  60. 0 7 9 34 54 59 80 81 95 (16)
  61. 0 7 9 35 56 65 66 78 95 (16)
  62. 0 7 9 41 43 54 64 68 95 (16)
  63. 0 7 11 18 51 67 81 85 95 (16)
  64. 0 7 11 37 39 54 64 89 93 (16)
  65. 0 7 11 39 42 56 73 81 95 (16)
  66. 0 7 13 23 30 59 69 75 90 (16)
  67. 0 7 14 32 46 49 63 81 95 (16)
  68. 0 7 15 45 52 68 70 72 89 (16)
  69. 0 7 21 29 43 66 70 75 83 (16)
  70. 0 7 29 44 59 61 69 75 84 (16)

ハイライトされた組み合わせは他よりよい。

駒を裏返すことができるとき、駒の種類は次の 48種類となる。

0 ABCD 1 ABDC 2 ACBD
6 ABCd 7 ABDc 8 ACBd 9 ACDb10 ADBc11 ADCb
12 ABcD13 ABdC14 ACbD
18 ABcd19 ABdc20 ACbd21 ACdb22 ADbc23 ADcb
30 AbCd31 AbDc32 AcBd
42 Abcd43 Abdc44 Acbd
48 aBCD49 aBDC50 aCBD
54 aBCd55 aBDc56 aCBd57 aCDb58 aDBc59 aDCb
60 aBcD61 aBdC62 aCbD
66 aBcd67 aBdc68 aCbd69 aCdb70 aDbc71 aDcb
78 abCd79 abDc80 acBd
90 abcd91 abdc92 acbd

48種から 12対以上持つ異なる 9駒を選ぶ正規化された組み合わせは次のとおり。

総組み合わせ数 1,677,106,64048C9
正規化組み合わせ数 3,956,25112対以上
解を持つ組み合わせ数 3,572,154
最大解を持つ組み合わせ数 19,812解
唯一解を持つ組み合わせ数 70,803

最大解を持つ組み合わせは次で、9,812解を持つ。

  1. 0 6 11 18 23 60 66 71 78 (16)

9駒いずれを中心に位置させても唯一解となる組み合わせは次の 1通り。 ☞ 2-side Match

  1. 0 1 6 18 21 44 50 66 91 (13)

 

5色を辺で合わせる

ひとつの駒に同じ色が含まれないとき、5色を使った駒の種類は次の 30種類ある。 これらから異なる 9駒を選び、隣り合う辺を同色にする。周囲の色は問わない。駒を裏返すことはできない。

0 ABCD 1 ABDC 2 ACBD 3 ACDB 4 ADBC 5 ADCB
6 ABCE 7 ABEC 8 ACBE 9 ACEB10 AEBC11 AECB
12 ABDE13 ABED14 ADBE15 ADEB16 AEBD17 AEDB
18 ACDE19 ACED20 ADCE21 ADEC22 AECD23 AEDC
24 BCDE25 BCED26 BDCE27 BDEC28 BECD29 BEDC

Color Tiles Piece ここに、A～E は各色を表わし、0番の ABCD は左図に対応する。

5 Colors Tiles 任意の組み合わせに対して適当な色の置換を行なって、なるべく小さい駒番号の組み合わせに正規化することができる。例えば、2 6 8 15 16 18 20 24 26 は、 ABCDE → BDCEA の置換によって 0 1 6 7 14 15 20 21 24 と等価となる。

2 ACBD → 24 BCDE
6 ABCE → 1 ABDC
8 ACBE → 0 ABCD
15 ADEB → 14 ADBE
16 AEBD → 15 ADEB
18 ACDE → 6 ABCE
20 ADCE → 7 ABEC
24 BCDE → 20 ADCE
26 BDCE → 21 ADEC

30種から異なる 9駒を選ぶ正規化された組み合わせは次のとおり。

総組み合わせ数 14,307,15030C9
正規化組み合わせ数 119,507
解を持つ組み合わせ数 119,505
最大解を持つ組み合わせ数 2763解
最小解を持つ組み合わせ数 54解

最大解を持つ組み合わせは次で、763解を持つ。

  1. 0 1 2 3 4 5 6 7 9
  2. 0 1 2 3 4 5 6 7 11

最小解を持つ組み合わせは次で、4解を持つ。唯一解を持つ組み合わせはない。

  1. 0 1 2 3 7 12 13 16 26
  2. 0 1 2 6 9 16 18 19 26
  3. 0 1 2 6 12 13 16 19 27
  4. 0 1 2 7 10 12 21 22 27
  5. 0 1 3 6 10 16 19 24 25

解を持たない組み合わせは次しかない。

  1. 0 1 2 3 12 13 16 19 22
  2. 0 1 2 6 7 10 12 13 14

9駒いずれを中心に位置させても唯一解となる組み合わせはない。

駒を裏返すことができるとき、駒の種類は次の 15種類となる。

0 ABCD 1 ABDC 2 ACBD
6 ABCE 7 ABEC 8 ACBE
12 ABDE13 ABED14 ADBE
18 ACDE19 ACED20 ADCE
24 BCDE25 BCED26 BDCE

15種から異なる 9駒を選ぶ正規化された組み合わせ数は次のとおり。

総組み合わせ数 5,00515C9
正規化組み合わせ数 58
解を持つ組み合わせ数 58
最大解を持つ組み合わせ数1 30,228解
最小解を持つ組み合わせ数1 17,872解

9駒いずれを中心に位置させても唯一解となる組み合わせはない。

4色を辺で合わせる

ひとつの駒に同じ色が含まれるとき、4色を使った駒の種類は次の 70種類ある。 これらから異なる 9駒を選び、隣り合う辺を同色にする。周囲の色は問わない。駒を裏返すことはできない。

0 ABCD 1 ABDC 2 ACBD 3 ACDB 4 ADBC 5 ADCB
6 AABC 7 AACB 8 AABD 9 AADB10 AACD11 AADC
12 ACBB13 ABBC14 ADBB15 ABBD16 BBCD17 BBDC
18 ABCC19 ACCB20 ADCC21 ACCD22 BDCC23 BCCD
24 ABDD25 ADDB26 ACDD27 ADDC28 BCDD29 BDDC
30 ABAC31 ABAD32 ACAD33 ABCB34 ABDB35 BCBD
36 ACBC37 ACDC38 BCDC39 ADBD40 ADCD41 BDCD
42 AABB43 AACC44 AADD45 BBCC46 BBDD47 CCDD
48 ABAB49 ACAC50 ADAD51 BCBC52 BDBD53 CDCD
54 AAAB55 AAAC56 AAAD57 ABBB58 BBBC59 BBBD
60 ACCC61 BCCC62 CCCD63 ADDD64 BDDD65 CDDD
66 AAAA67 BBBB68 CCCC69 DDDD

Color Tiles Piece ここに、A～D は各色を表わし、0番の ABCD は左図に対応する。

4 Colors Tiles 任意の組み合わせに対して適当な色の置換を行なって、なるべく小さい駒番号の組み合わせに正規化することができる。例えば、1 3 23 36 38 39 41 42 69 は、 ABCD → DCAB の置換によって 0 5 6 30 32 33 35 47 67 と等価となる。

1 ABDC → 5 ADCB
3 ACDB → 0 ABCD
23 BCCD → 6 AABC
36 ACBC → 32 ACAD
38 BCDC → 30 ABAC
39 ADBD → 35 BCBD
41 BDCD → 33 ABCB
42 AABB → 47 CCDD
69 DDDD → 67 BBBB

70種から異なる 9駒を選ぶ正規化された組み合わせは次のとおり。

総組み合わせ数 65,033,528,56070C9
正規化組み合わせ数 2,713,252,941
解を持つ組み合わせ数 2,590,002,702
唯一解を持つ組み合わせ数31,611,564

9駒いずれを中心に位置させても唯一解となる組み合わせはない。

駒を裏返すことができるとき、駒の種類は次の 55種類となる。

0 ABCD 1 ABDC 2 ACBD
6 AABC 8 AABD10 AACD
12 ACBB14 ADBB16 BBCD
18 ABCC20 ADCC22 BDCC
24 ABDD26 ACDD28 BCDD
30 ABAC31 ABAD32 ACAD33 ABCB34 ABDB35 BCBD
36 ACBC37 ACDC38 BCDC39 ADBD40 ADCD41 BDCD
42 AABB43 AACC44 AADD45 BBCC46 BBDD47 CCDD
48 ABAB49 ACAC50 ADAD51 BCBC52 BDBD53 CDCD
54 AAAB55 AAAC56 AAAD57 ABBB58 BBBC59 BBBD
60 ACCC61 BCCC62 CCCD63 ADDD64 BDDD65 CDDD
66 AAAA67 BBBB68 CCCC69 DDDD

55種から異なる 9駒を選ぶ正規化された組み合わせは次のとおり。

総組み合わせ数 6,358,402,05055C9
正規化組み合わせ数 266,787,966
解を持つ組み合わせ数 244,911,124
唯一解を持つ組み合わせ数1,001,305

9駒いずれを中心に位置させても唯一解となる組み合わせはない。

3色を辺で合わせる

ひとつの駒に同じ色が含まれるとき、3色を使った駒の種類は次の 24種類ある。これは、4色の組のサブセットである。 これらから異なる 9駒を選び、隣り合う辺を同色にする。周囲の色は問わない。駒を裏返すことはできない。

0 AABC 1 AACB 2 ACBB 3 ABBC 4 ABCC 5 ACCB
6 ABAC 7 ABCB 8 ACBC 9 AABB10 AACC11 BBCC
12 ABAB13 ACAC14 BCBC15 AAAB16 AAAC17 ABBB
18 BBBC19 ACCC20 BCCC21 AAAA22 BBBB23 CCCC

Color Tiles Piece ここに、A～C は各色を表わし、0番の AABC は左図に対応する。

3 Colors Tiles 任意の組み合わせに対して適当な色の置換を行なって、なるべく小さい駒番号の組み合わせに正規化することができる。例えば、1 2 3 13 16 17 18 21 22 は、 ABC → BAC の置換によって 0 1 3 14 15 16 18 21 22 と等価となる。

1 AACB → 3 ABBC
2 ACBB → 0 AABC
3 ABBC → 1 AACB
13 ACAC → 14 BCBC
16 AAAC → 18 BBBC
17 ABBB → 15 AAAB
18 BBBC → 16 AAAC
21 AAAA → 22 BBBB
22 BBBB → 21 AAAA

24種から異なる 9駒を選ぶ正規化された組み合わせ数は次のとおり。

総組み合わせ数 1,307,50424C9
正規化組み合わせ数 218,596
解を持つ組み合わせ数215,734
最大解を持つ組み合わせ数 125,488解
唯一解を持つ組み合わせ数 56

最大解を持つ組み合わせは次で、25,488解を持つ。

  1. 0 1 2 3 4 5 6 7 8

唯一解を持つ組み合わせは以下のとおり。

  1. 0 1 2 4 14 15 20 21 23
  2. 0 1 2 8 13 14 16 21 22
  3. 0 1 2 8 13 14 18 21 22
  4. 0 1 2 8 13 16 18 21 22
  5. 0 1 2 8 14 16 18 21 22
  6. 0 1 2 13 14 15 18 21 22
  7. 0 1 2 13 16 17 18 21 22
  8. 0 1 2 14 15 16 18 21 22
  9. 0 1 3 5 14 15 20 21 23
  10. 0 1 3 8 13 14 16 21 22
  11. 0 1 3 8 13 14 18 21 22
  12. 0 1 3 8 13 16 18 21 22
  13. 0 1 3 8 14 16 18 21 22
  14. 0 1 3 13 14 15 18 21 22
  15. 0 1 3 13 16 17 18 21 22
  16. 0 1 3 14 15 16 18 21 22
  17. 0 2 4 7 12 14 15 21 23
  18. 0 2 4 7 12 14 20 21 23
  19. 0 2 4 7 12 15 20 21 23
  1. 0 2 4 7 14 15 20 21 23
  2. 0 2 4 12 17 19 20 22 23
  3. 0 2 4 14 15 16 18 21 22
  4. 0 2 6 8 14 16 18 21 22
  5. 0 3 10 11 12 15 21 22 23
  6. 0 3 10 11 12 17 21 22 23
  7. 0 3 10 12 14 15 21 22 23
  8. 0 3 10 12 14 17 21 22 23
  9. 0 3 10 12 15 18 21 22 23
  10. 0 3 10 12 15 20 21 22 23
  11. 0 3 10 12 17 18 21 22 23
  12. 0 3 10 12 17 20 21 22 23
  13. 0 3 11 12 13 15 21 22 23
  14. 0 3 11 12 13 17 21 22 23
  15. 0 3 11 12 15 16 21 22 23
  16. 0 3 11 12 15 19 21 22 23
  17. 0 3 11 12 16 17 21 22 23
  18. 0 3 11 12 17 19 21 22 23
  19. 0 3 12 13 14 15 21 22 23
  1. 0 3 12 13 14 17 21 22 23
  2. 0 3 12 13 15 18 21 22 23
  3. 0 3 12 13 15 20 21 22 23
  4. 0 3 12 13 17 18 21 22 23
  5. 0 3 12 13 17 20 21 22 23
  6. 0 3 12 14 15 16 21 22 23
  7. 0 3 12 14 15 19 21 22 23
  8. 0 3 12 14 16 17 21 22 23
  9. 0 3 12 14 17 19 21 22 23
  10. 0 3 12 15 16 18 21 22 23
  11. 0 3 12 15 16 20 21 22 23
  12. 0 3 12 15 18 19 21 22 23
  13. 0 3 12 15 19 20 21 22 23
  14. 0 3 12 16 17 18 21 22 23
  15. 0 3 12 16 17 20 21 22 23
  16. 0 3 12 17 18 19 21 22 23
  17. 0 3 12 17 19 20 21 22 23
  18. 0 5 6 7 14 15 20 21 23

9駒いずれを中心に位置させても唯一解となる組み合わせはない。

マクマホンのカラータイルは、24駒すべてを 6×4 に組む。このとき、周囲の色を揃える。

駒を裏返すことができるとき、駒の種類は次の 21種類となる。

0 AABC 2 ACBB 4 ABCC
6 ABAC 7 ABCB 8 ACBC 9 AABB10 AACC11 BBCC
12 ABAB13 ACAC14 BCBC15 AAAB16 AAAC17 ABBB
18 BBBC19 ACCC20 BCCC21 AAAA22 BBBB23 CCCC

21種から異なる 9駒を選ぶ正規化された組み合わせ数は次のとおり。

総組み合わせ数 293,93021C9
正規化組み合わせ数 49,469
解を持つ組み合わせ数 47,690
最大解を持つ組み合わせ数 1 128,224解
最小解を持つ組み合わせ数 801 4解

9駒いずれを中心に位置させても唯一解となる組み合わせはない。

May 12, 2005 by k16@chiba.email.ne.jp