Hexagonal Color Tiles

Analysis and Copyright : 石野恵一郎 (ISHINO Keiichiro) (2006)。ここでは、7つの六角形を並べる色合わせの問題を考える。

6色を辺で合わせる

ひとつの駒に同じ色が含まれないとき、6色を使った駒の種類は次の 120種類ある。これらから異なる 7駒を選び、隣り合う辺を同色にする。周囲の色は問わない。駒を裏返すことはできない。

0	ABCDEF	1	ABCDFE	2	ABCEDF	3	ABCEFD	4	ABCFDE	5	ABCFED
6	ABDCEF	7	ABDCFE	8	ABDECF	9	ABDEFC	10	ABDFCE	11	ABDFEC
12	ABECDF	13	ABECFD	14	ABEDCF	15	ABEDFC	16	ABEFCD	17	ABEFDC
18	ABFCDE	19	ABFCED	20	ABFDCE	21	ABFDEC	22	ABFECD	23	ABFEDC
24	ACBDEF	25	ACBDFE	26	ACBEDF	27	ACBEFD	28	ACBFDE	29	ACBFED
30	ACDBEF	31	ACDBFE	32	ACDEBF	33	ACDEFB	34	ACDFBE	35	ACDFEB
36	ACEBDF	37	ACEBFD	38	ACEDBF	39	ACEDFB	40	ACEFBD	41	ACEFDB
42	ACFBDE	43	ACFBED	44	ACFDBE	45	ACFDEB	46	ACFEBD	47	ACFEDB
48	ADBCEF	49	ADBCFE	50	ADBECF	51	ADBEFC	52	ADBFCE	53	ADBFEC
54	ADCBEF	55	ADCBFE	56	ADCEBF	57	ADCEFB	58	ADCFBE	59	ADCFEB
60	ADEBCF	61	ADEBFC	62	ADECBF	63	ADECFB	64	ADEFBC	65	ADEFCB
66	ADFBCE	67	ADFBEC	68	ADFCBE	69	ADFCEB	70	ADFEBC	71	ADFECB
72	AEBCDF	73	AEBCFD	74	AEBDCF	75	AEBDFC	76	AEBFCD	77	AEBFDC
78	AECBDF	79	AECBFD	80	AECDBF	81	AECDFB	82	AECFBD	83	AECFDB
84	AEDBCF	85	AEDBFC	86	AEDCBF	87	AEDCFB	88	AEDFBC	89	AEDFCB
90	AEFBCD	91	AEFBDC	92	AEFCBD	93	AEFCDB	94	AEFDBC	95	AEFDCB
96	AFBCDE	97	AFBCED	98	AFBDCE	99	AFBDEC	100	AFBECD	101	AFBEDC
102	AFCBDE	103	AFCBED	104	AFCDBE	105	AFCDEB	106	AFCEBD	107	AFCEDB
108	AFDBCE	109	AFDBEC	110	AFDCBE	111	AFDCEB	112	AFDEBC	113	AFDECB
114	AFEBCD	115	AFEBDC	116	AFECBD	117	AFECDB	118	AFEDBC	119	AFEDCB

ここに、A～F は各色を表わし、 0番の ABCDEF は左図に対応する。

任意の組み合わせに対して適当な色の置換を行なって、なるべく小さい駒番号の組み合わせに正規化することができる。例えば、2 7 36 56 61 66 112 は、 ABCDEF → EBDFAC の置換によって 0 3 8 19 77 92 106 と等価となる。

2	ABCEDF	→	106	AFCEBD
7	ABDCFE	→	77	AEBFDC
36	ACEBDF	→	19	ABFCED
56	ADCEBF	→	3	ABCEFD
61	ADEBFC	→	0	ABCDEF
66	ADFBCE	→	92	AEFCBD
112	AFDEBC	→	8	ABDECF

120種から異なる 7駒を選ぶ正規化された組み合わせは次のとおり。

総組み合わせ数	59,487,568,920	₁₂₀C₇
正規化組み合わせ数	82,628,379
解を持つ組み合わせ数	5,623,238
最大解を持つ組み合わせ数	1	20解
唯一解を持つ組み合わせ数	4,417,343

最大解を持つ組み合わせは次で、20解を持つ。

0 3 4 9 17 64 112

7駒いずれを中心に位置させても唯一解となる組み合わせは次の 4通り。

0 3 8 18 30 64 72
0 3 10 61 91 106 112
0 3 17 19 40 73 108
0 3 21 51 77 80 84

駒を裏返すことができるとき、駒の種類は次の 60種類となる。

0	ABCDEF	1	ABCDFE	2	ABCEDF	3	ABCEFD	4	ABCFDE	5	ABCFED
6	ABDCEF	7	ABDCFE	8	ABDECF	9	ABDEFC	10	ABDFCE	11	ABDFEC
12	ABECDF	13	ABECFD	14	ABEDCF	15	ABEDFC	16	ABEFCD	17	ABEFDC
18	ABFCDE	19	ABFCED	20	ABFDCE	21	ABFDEC	22	ABFECD	23	ABFEDC
24	ACBDEF	25	ACBDFE	26	ACBEDF	27	ACBEFD	28	ACBFDE	29	ACBFED
30	ACDBEF	31	ACDBFE	32	ACDEBF			34	ACDFBE
36	ACEBDF	37	ACEBFD	38	ACEDBF			40	ACEFBD
42	ACFBDE	43	ACFBED	44	ACFDBE			46	ACFEBD
48	ADBCEF	49	ADBCFE	50	ADBECF			52	ADBFCE
54	ADCBEF	55	ADCBFE	56	ADCEBF			58	ADCFBE
60	ADEBCF			62	ADECBF
66	ADFBCE			68	ADFCBE
72	AEBCDF			74	AEBDCF
78	AECBDF			80	AECDBF
84	AEDBCF			86	AEDCBF

60種から 7駒を選ぶ正規化された組み合わせは次のとおり。

総組み合わせ数	386,206,920	₆₀C₇
正規化組み合わせ数	543,377
解を持つ組み合わせ数	491,806
最大解を持つ組み合わせ数	1	56解
唯一解を持つ組み合わせ数	35,428

最大解を持つ組み合わせは次で、56解を持つ。

0 5 14 37 44 52 54

7駒いずれを中心に位置させても唯一解となる組み合わせは次の 27通り。

0 1 2 9 22 36 68
0 1 2 11 18 37 44
0 1 2 12 21 42 58
0 1 3 8 15 56 66
0 1 3 8 27 34 84
0 1 3 10 29 30 74
0 1 3 26 42 49 78
0 1 3 28 38 60 74
0 1 3 28 46 60 84

0 1 3 32 40 42 58
0 1 3 36 52 74 80
0 1 6 11 21 58 84
0 1 8 11 12 46 52
0 1 8 11 13 44 52
0 1 8 11 27 31 74
0 1 8 16 26 34 78
0 1 8 29 52 56 58
0 1 9 13 20 36 62

0 1 9 19 40 68 80
0 1 9 26 50 56 78
0 1 9 27 31 36 49
0 1 15 16 27 52 78
0 1 16 26 28 50 84
0 3 4 7 36 40 72
0 3 7 9 28 30 50
0 3 7 21 32 40 58
0 3 7 26 62 68 80

Jul 16, 2006 by k16@chiba.email.ne.jp